Владимир Бабешко родился в 1984 году в Казани. Окончил Казанскую государственную консерваторию имени Н. Г. Жиганова (класс доцента Ольги Хабибуллиной) и Высшую школу музыки и исполнительских искусств во Франкфурте (класс Йорга Хейера и Ингрид Цур). Принимал участие в мастер-классе Юрия Башмета, занимался в летней школе Академии Киджи в Сиене, Академии имени Карла Флеша в Баден-Бадене, творческих академиях фестивалей в Вербье и Шлезвиг-Гольштейне. Участвовал в проекте «Камерная музыка объединяет мир» академии в Кронберге.
Лауреат конкурсов молодых музыкантов в Волгограде, Уфе, Твери, Тольятти, Кишиневе, обладатель специального приза VI Международного конкурса альтистов Юрия Башмета в Москве.
Награждался стипендиями Президента Российской Федерации и ряда немецких фондов. В 2009–2018 гг. был стипендиатом фонда Анне-Софи Муттер.
С 2011 года играет в составе ансамбля Mutter’s Virtuosi, с которым выступал в странах Европы, Азии, Северной и Южной Америки. С 2018 года – концертмейстер группы альтов Национального оркестра Бельгии.
В качестве солиста выступал с Филармоническим оркестром Баден-Бадена, Мюнхенским симфоническим оркестром. Первый исполнитель написанного для него Альтового концерта французского композитора Пьер-Доминика Поннеля (мировая премьера прошла с участием Курпфальцского камерного оркестра в Мангейме).
В камерных ансамблях играл с Юрием Башметом, Гидоном Кремером, Ламбертом Оркисом, Линном Харреллом, Гари Хоффманом, Нобуко Имаи, Лоуренсом Пауэром, Ксенией Башмет, Хеншель-квартетом.
Принимал участие в фестивалях в Локенхаусе, Рейнгау, Шлезвиг-Гольштейне, Оберсдорфе, Эдинбурге, Челси, Rio Music Week в Бразилии.
В 2020 году в составе квартета с Анне-Софи Муттер, Е-Юн Чой и Даниэлем Мюллер-Шоттом участвовал в исполнении квартета № 6 (Study on Beethoven) Йорга Видмана, написанного по заказу Муттер. После мировой премьеры в Сантори-холле (Токио) произведение было исполнено в венском Концертхаусе, гамбургской Филармонии на Эльбе, Национальном центре исполнительских искусств в Пекине, а в 2022 году прозвучит в нью-йоркском Карнеги-холле.
Владимир Бабешко играет на инструменте работы Жан-Батиста Вильома (1870), предоставленном Фондом Анне-Софи Муттер.