Яков Кацнельсон родился в Москве в 1976 году. В 1981-1993 учился в школе-десятилетке имени Гнесиных по двум специальностям: класс фортепиано (Л.А.Григорьева и М.Ш.Шалитаева) и класс флейты (Н.Д.Селезнева). Окончил Московскую консерваторию (1998) и аспирантуру (2001) по классу фортепиано у профессора Э.К.Вирсаладзе.
Является лауреатом и дипломантом международных конкурсов: имени И.С.Баха в Лейпциге (1996), имени Бельгийской королевы Елизаветы в Брюсселе (1999), Г.Анды в Цюрихе (2000), II Международного конкурса пианистов в Тбилиси (2001), Первого международного конкурса пианистов имени С. Рихтера в Москве (2005).
Выступал с сольными концертами в Большом и Малом залах Московской консерватории, во многих городах СНГ (в т.ч. в Большом зале Санкт-Петербургской филармонии с Заслуженным коллективом республики Симфоническим оркестром Санкт-Петербургской филармонии), а также в Англии, Бельгии, Германии, Испании, Монако, Франции, Швейцарии, Боснии и Греции. Сотрудничал с оркестрами под управлением таких дирижеров, как В.Понькин, В.Ашкенази, А.Левин, Эри Класс, Марк Сустро. Принимал участие в международных музыкальных фестивалях: «Пятое клавирное лето» в Фирзене (Германия), Бернара Казадезюса в Каннах (Франция), Памяти Олега Кагана в Кройте (Германия, 1995 и 2005), Святослава Рихтера в Тарусе (2002, 2005), фестивале камерной музыки в Утрехте (2008). Постоянный участник фестиваля «Возвращение» в Москве и фестиваля на острове Хииюмаа (Эстония). Пианист регулярно исполняет камерную музыку. Он сотрудничал с такими артистами, как Людмила Белобрагина, Кристина Блаумане, Борис Бровцын, Максим Рысанов, Марианна Шалитаева, Миша Майский, Юлиан Рахлин, Жаннин Янсен, Мартин Фрёст (Швеция) и другими. В составе трио с Ириной Петуховой (скрипка) и Борисом Лифановским (виолончель) провел большое количество концертов по стране и за рубежом.
С 1998 года Яков Кацнельсон преподает в Московской средней специальной музыкальной школе имени Гнесиных, где ведет класс концертмейстерского мастерства. С 2001 года работает в Московской государственной консерватории им. П.И.Чайковского в качестве ассистента профессора Э.К.Вирсаладзе. В 2007 году совместно с виолончелисткой Кристиной Блаумане записал диск на английской фирме Quartz с произведениями С.Барбера, Э.Грига и Б.Мартину. Принимал участие в записи всех камерных сочинений Брамса с участием альта с Максимом Рысановым (Onix, 2008).