Михаил Ашуров родился в 1974 году в Москве. Обучался в Центральной музыкальной школе при Московской консерватории (класс Светланы Безродной), затем в Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского (класс профессора Сергея Гиршенко) и Высшей школе музыки и театра в Ганновере (класс профессора Йенса Эллермана).
Как стипендиат и участник программ фонда «Новые имена» гастролировал в США. В 1996 году в составе международного оркестра, собранного дирижером Колином Дэвисом, участвовал в праздновании 200-летия Парижской консерватории. В 1997 году одержал победу в международном конкурсе «Рубинштейн и московская композиторская школа».
В 1998 году с пианистом Виктором Ямпольским записал дебютный альбом на фирме A-RAM; в том же году состоялась презентация диска в лондонском Уигмор-холле, концерт был отмечен восторженной рецензией в английском музыкальном журнале The Strad.
Участвовал во многих международных фестивалях, выступал на одной сцене с прославленными музыкантами, среди которых Юрий Башмет, Александр Слободяник, Виктор Третьяков, Валентин Фейгин, Наталия Гутман, Александр Гиндин, Александр Рождественский.
С 2003 года преподает в ЦМШ, дает мастер-классы в России и за рубежом. Артист камерного ансамбля «Солисты Москвы» под руководством Юрия Башмета.