Юрий Махров окончил Академию хорового искусства имени В. С. Попова по специальности «хоровое дирижирование» (2010) и аспирантуру академии по специальности «сольное пение» (2013, класс Светланы Нестеренко). В 2014 году с отличием завершил обучение в Российской академии музыки имени Гнесиных по специальности «вокальное искусство» (класс Светланы Горенковой). Совершенствовал мастерство в программе для молодых певцов Oper Oder Spree (Германия, 2014) и в школе пения Академии Россини (Италия, 2017) под руководством Эрнесто Паласио. Принимал участие в мастер-классах Галины Вишневской, Хуана Диего Флореса, Важи Чачавы, Роберта Гэмбилла, Деборы Йорк, Валентины Левко, Фабио Сартори.
Лауреат IX Международного конкурса оперных певцов имени Клаудии Таэв в Эстонии (III премия, 2015), I Московского конкурса теноров имени Ивана Козловского (III премия и специальный приз, 2011), IX Международного конкурса вокалистов имени Зары Долухановой «Янтарный соловей» в Калининграде (II премия и специальный приз, 2010), дипломант X Международного конкурса оперных певцов Елены Образцовой в Санкт-Петербурге (2015). Неоднократно удостаивался стипендии Министерства культуры РФ.
Выступал в партиях Дамона («Ацис и Галатея» Генделя) в Московском международном Доме музыки; Молодого моряка («Тристан и Изольда» Вагнера) в Московском театре «Новая опера» имени Е. В. Колобова; Бригеллы («Ариадна на Наксосе» Р. Штрауса) в Концертном зале имени П. И. Чайковского с Госоркестром России имени Е. Ф. Светланова под управлением Владимира Юровского; Молодого цыгана («Алеко» Рахманинова) с оркестром «Новая Россия», Ленского («Евгений Онегин» Чайковского) и Вальтера («Тангейзер» Вагнера) в МКЗ «Зарядье»; Бельфьоре («Мнимая садовница» Моцарта) в Берлине с Берлинским симфоническим оркестром под управлением Кристофа Хагеля; Линдоро («Итальянка в Алжире» Россини) на Festival de’Bardi в Нидерландах; Тебальда («Капулети и Монтекки» Беллини) и Нарчизо («Турок в Италии» Россини) на фестивале PromFest в Эстонии и Латвии; Целима («Истина в испытании» Вивальди) в Германии.
Выступает солистом в произведениях кантатно-ораториального жанра: участвовал в исполнении Первой симфонии Скрябина с Российским национальным оркестром под управлением Михаила Плетнёва на Большом фестивале РНО в Москве и фестивале Septembre Musical в Швейцарии; Мессы ми-бемоль мажор Шуберта в Нюрнберге с Нюрнбергским симфоническим оркестром; ораторий «Мессия» и «Самсон» Генделя с оркестром Musica Viva и Российским национальным оркестром в Большом зале Московской консерватории; «Страстей по Иоанну» и «Страстей по Матфею» И. С. Баха в Нидерландах и многих других сочинений.
В 2025 году исполнил партию Юноши в сценической версии оратории «Семь смертных грехов» Адальберта фон Гольдшмидта в Берлине (дирижер – Кай-Уве Йирка) и партию архангела Уриила в оратории «Сотворении мира» Гайдна в Новосибирской филармонии (Новосибирский академический симфонический оркестр, дирижер – Александр Рудин). В 2026 году дебютировал в сценической версии Реквиема Моцарта в Государственном театре Аугсбурга (Германия, дирижер – Иван Демидов).
В разные годы принимал участие в концертах в Русском доме в Берлине, на фестивале русского искусства в Довиле (Франция), в Оперном театре Сайгона (Вьетнам), в Шанхае, Харбине и Гуанчжоу (Китай).
