Андрей Зуст родился в городе Логатек (Словения), где брал и первые уроки игры на валторне у Янеза Поланка. Позднее он перешел в Люблянскую музыкальную академию к Боштяну Липовшеку. Также молодой валторнист черпал творческое вдохновение в занятиях с такими известными музыкантами, как Германн Бауманн, Фрёйдис Рее Векре, Виктор Малиш и Радован Влаткович. Еще будучи студентом, он, благодаря своим артистическим способностям, получил премии Лисияна-Марии-Шкерянка и Прешерен.
Свою карьеру Зуст продолжил победами на многочисленных национальных и международных конкурсах, в том числе на конкурсе в Паволетто (Италия) в 2001 году и на Конкурсе молодых музыкантов в Словении в 2002 году. В мае 2004 года он получил позицию первого валторниста Словенского филармонического оркестра в Любляне. Кроме того, Андрей Зуст работал в коллективах Молодежного оркестра им. Густава Малера и оркестра Тихоокеанского музыкального фестиваля.
Будучи активным исполнителем камерной музыки, он участвует в квинтете «Ariart Wind» и трио «Triumvirat», а также является одним из солистов Камерного оркестра Любляны.
С февраля 2009 года по январь 2011 года он был студентом Академии Берлинской филармонии. В начале сезона 2011/2012 года Андрей Зуст вошел в состав группы валторнистов знаменитого оркестра.