Родился в Москве. Окончил Музыкально-педагогический институт имени Гнесиных (класс композиции Арама Хачатуряна, класс истории музыки Константина Розеншильда) и аспирантуру Ленинградской консерватории (класс истории зарубежной музыки Галины Филенко). Кандидат искусствоведения (1983), автор многочисленных статей о современной музыке, первой отечественной монографии об Оливье Мессиане (1987) и «Автомонографии» о собственном творчестве (1997). Под редакцией Екимовского вышло в свет несколько томов Собрания сочинений Шостаковича. Музыка композитора звучала на международных фестивалях в России, Польше, Хорватии, Австрии, Франции, Швейцарии, Германии, Италии, Финляндии, Великобритании, США. Многие его сочинения написаны по заказам известных исполнителей и коллективов.
В начале пути, в 1970-е, композитор работал в русле авангарда: от ортодоксальных технологических изысканий (додекафонная Композиция 2 для фортепианного квартета, сериальная Композиция 7 для струнного квартета, алеаторические Sublimations для оркестра) до различного рода эпатирующих экспериментов (коллажи в оркестровых «Лирических отступлениях», инструментальный театр в Balletto для дирижера, «игра в стили» в «Бранденбургском концерте» для камерного оркестра). В 1980-е музыка Екимовского принимает более строгие черты, близкие концептуалистскому типу мышления («Прощание» для фортепиано, «Мандала» для 9 исполнителей, «В созвездии Гончих Псов» для трех флейт). В 1990-е годы творчество композитора приобрело неоромантическую окраску («Лунная соната» для фортепиано, «Симфонические танцы» для фортепиано с оркестром, «27 разрушений» для ансамбля ударных, «Зеркало Авиценны» для 14 исполнителей).
С 1996 года Екимовский возглавляет Ассоциацию Современной Музыки. Cекретарь Союза композиторов России, член Правления Союза композиторов Москвы и оргкомитета фестиваля «Московская осень». Лауреат Международного композиторского конкурса имени Прокофьева (Санкт-Петербург, 1999), организатор ряда конференций и фестивалей («Страсти по поставангарду», 1997, «Музыка русского зарубежья», 1998, «К 10-летию Ассоциации Современной Музыки», 2000).
