Александр Маркеев родился в Ростове-на-Дону. В 2010 году окончил вокальный факультет Международного славянского института имени Г. Р. Державина (класс Елизаветы Новиковой) и Центр оперного пения Галины Вишневской (класс Бадри Майсурадзе). Прошел стажировку в Международной летней академии оперы в Сандефьорде (Норвегия) под руководством дирижера Марка Сустро и режиссера Джонатана Вулфа Миллера.

Дипломант Международного студенческого конкурса вокалистов Лидии Абрамовой Bella voce (2005), лауреат Международного фестиваля-конкурса Musica Classica в Рузе (II премия, 2008).

В 2010–2011 гг. – солист Московского театра «Новая опера» имени  Е . В . Колобова, с 2012 года – приглашенный солист Государственной академической симфонической капеллы России под управлением Валерия Полянского.

В 2013 году принят в труппу Камерного музыкального театра имени Б. А. Покровского. С 2018 года – солист Камерной сцены имени Б. А. Покровского Большого театра. 

В Большом театре выступает на Исторической, Новой и Камерной сценах в партиях Атаманши («История Кая и Герды» Баневича), Царя Салтана («Сказка о царе Салтане» Римского-Корсакова), Приказчика, Городового («Катерина Измайлова» Шостаковича), Сурина («Пиковая дама» Чайковского), Мельника («Король» Джордано), Вышаты («Аскольдова могила» Верстовского), Антонио Люстало («Линда ди Шамуни» Доницетти), Черевика («Сорочинская ярмарка» Мусоргского), Чуба («Черевички» Чайковского), Дона Иниго Гомеса («Испанский час» Равеля), Зарастро и Командора («Волшебная флейта» и «Дон Жуан» Моцарта), Черного Боба / Тома («Маленький трубочист» Бриттена), Тальпы («Плащ» Пуччини) и многих других.

Также в репертуаре певца – Пимен и Досифей («Борис Годунов» и «Хованщина» Мусоргского), Гремин и Король Рене («Евгений Онегин» и «Иоланта» Чайковского), Старый цыган («Алеко» Рахманинова), Великий инквизитор и Якопо Фиеско («Дон Карлос» и «Симон Бокканегра» Верди) и другие партии.