Алексей Неклюдов является лауреатом многих российских и международных конкурсов, в том числе IV открытого конкурса юных вокалистов имени Александра Пирогова (I премия, 2007), XV Международного конкурса вокалистов Bella voce (II премия и приз «Надежда» от Московского фонда культуры, 2007). С 2009 года он учился в Академии хорового искусства имени В. С. Попова в классе профессора С. Г. Нестеренко. В апреле 2010 г. Алексей дебютировал на сцене Большого зала консерватории с Национальным филармоническим оркестром России под управлением Владимира Спивакова, исполнив партию тенора в Реквиеме К. Сен-Санса.
В 2012 году Алексей стал обладателем гранта Национального филармонического оркестра России, через год получил стипендию фонда М. Магомаева. В 2013 и 2014 гг. участвовал в международном фестивале классической музыки В. Спивакова в Кольмаре (Франция). Певец выступал с такими дирижёрами, как Владимир Федосеев, Михаил Плетнёв, Владимир Юровский, Отто Тауск, Константин Орбелян, Петер Нойманн, Фабио Мастранжело, Стефано Монтанари, Андреас Шперинг. Принимал участие в фестивалях «Черешневый лес», «Владимир Спиваков приглашает…» и многих других.
В 2013 году Алексей Неклюдов стал солистом Московского муниципального театра «Новая Опера» имени Е. В. Колобова, где исполнил партии в операх «Снегурочка» Н. А. Римского-Корсакого, «Саломея» Р. Штрауса, «Евгений Онегин» П. И. Чайковского. С 2014 года Алексей является приглашённым солистом Большого театра России. На Новой сцене театра он принял участие в новой постановке оперы В. А. Моцарта «Так поступают все...» (партия Феррандо; режиссёр Флорис Виссер, дирижёр Стефано Монтанари), в постановке «Снегурочки» Н. А. Римского-Корсакова (режиссёр Александр Титель; дирижёр Туган Сохиев) и концертном исполнении оперы Дж. Россини «Путешествие в Реймс (дирижёр Туган Сохиев). В мае 2015 года исполнил партию Лыкова в опере Н. А. Римского-Корсакова «Царская невеста» в оперном театре Тель-Авива (Израиль). В июне 2015 года принял участие в летней академии фестиваля в Экс-ан-Провансе (Франция). В Баденском государственном театре в Карлсруэ певец исполняет партии Неморино («Любовный напиток» Г. Доницетти), Тамино («Волшебная флейта» В. А. Моцарта), Оронта («Альцина» Г. Ф. Генделя) и Лорда Перси («Анна Болейн» Г. Доницетти). В числе предстоящих выступений певца – дебюты в берлинской Komische Oper, Немецкой опере на Рейне в Дюссельдорфе, Брегенцском фестивале и театре Санкт-Галлена.
