Эйюб Рамиз оглы Кулиев родился в 1984 году в Баку в семье известного музыканта, профессора Рамиза Кулиева. В возрасте 15-и лет поступил в Азербайджанскую государственную музыкальную академию имени У. Гаджибекова, окончив её с отличием в классе Васифа Адигезалова (2005). В 2005–2008 гг. учился в аспирантуре Санкт-Петербургской консерватории на кафедре оперно-симфонического дирижирования у профессора Александра Полищука. В 2008–2010 гг. стажировался в Венском университете музыки и исполнительского искусства (класс профессора Марка Стрингера), совершенствовал мастерство в рамках мастер-класса «Европейская музыкальная академия» в Праге под управлением Йоханнеса Шлэфли. Также во время учёбы участвовал в мастер-классах Михаила Юровского, Дэниела Хардинга, Риккардо Капассо и Юрия Симонова.
Мастерство молодого музыканта было признано на международных конкурсах: IV конкурсе дирижёров имени В. Лютославского в Польше (2006, I премия и «Специальный приз оркестра»), IX конкурсе дирижёров имени Д. Митропулоса в Афинах (2008, «Специальный приз оркестра»), конкурсе дирижёров в Крайове в Румынии (2009, I премия), на международном фестивале «Музыкальный Олимп» в Санкт-Петербурге (2009, «Приз зрительских симпатий»), IX конкурсе дирижёров имени А. Тосканини в Парме (2010, Гран-при и Приз Дж. Синополи).
Не менее успешно развивалась его исполнительская карьера. Эйюб Кулиев принимал участие в юбилейных торжествах в честь 70-летия Мстислава Ростроповича в Баку и Москве (1997); в 2006 году дебютировал в качестве оперного дирижёра в Санкт-Петербургском государственном академическом театре оперы и балета имени М. П. Мусоргского, представив «Свадьбу Фигаро» Моцарта; в 2010-м дебютировал в нью-йоркском Карнеги-холле на концерте «Шесть восходящих звёзд»; в 2011-м выступил в серии концертов с Оркестром Тосканини в Италии и России. В 2014–2016 гг. дирижёр дебютировал в венском Концертхаусе, в парижском Театре Елисейских Полей и в Концертном зале имени П. И. Чайковского в Москве.
Музыкант сотрудничал с лондонским Королевским филармоническим оркестром, Филармоническим оркестром Радио Франции, Оркестром Ламурё, Венским камерным оркестром, Orchestra of Colours в Греции, венгерским симфоническим оркестром «Дунай», Загребским филармоническим оркестром, Филармоническим оркестром Северной Чехии, польскими оркестрами – Балтийской филармонии, Подляшья, Люблина, Кошалина, Ченстоховы, Сопота, Кельце, Литовским национальным симфоническим оркестром, Национальным симфоническим оркестром Украины, Государственным симфоническим оркестром Республики Беларусь, Президентским симфоническим оркестром в Турции, Филармоническим оркестром Йоханнесбурга, Российским национальным оркестром, Симфоническим оркестром Мариинского театра, Академическим симфоническим оркестром Санкт-Петербургской филармонии, оркестром Государственной академической капеллы Санкт-Петербурга, Оркестром Государственного Эрмитажа («Санкт-Петербург Камерата»), Академическим симфоническим оркестром Северо-Кавказской Государственной филармонии имени В. И. Сафонова и другими коллективами.
В 2011 году Э. Кулиев по конкурсу был принят в Азербайджанский государственный академический театр оперы и балета в качестве дирижёра.
Эйюб Кулиев – приглашённый дирижер Венского камерного оркестра, Словацкого камерного оркестра имени Богдана Вархала и Национального академического Большого театра оперы и балета Республики Беларусь.
В 1998 году в соответствии с указом Президента Азербайджанской Республики имя Э. Кулиева занесено в «Золотую книгу молодых талантов Азербайджана», также он удостоился Президентской стипендии. Удостоен премии фонда «Друзья культуры Азербайджана» (2002), премии «Достижение года» Международного культурного центра (2006), Государственной премии «Вершина» Министерства культуры и туризма Азербайджанской Республики (2009).
