Эйюб Кулиев родился в 1984 году в Баку. Окончил Бакинскую музыкальную академию имени Узеира Гаджибейли (2005). В 2005–2008 гг. обучался в аспирантуре Санкт-Петербургской государственной консерватории имени Н. А. Римского-Корсакова по специальности «оперно-симфоническое дирижирование» (класс профессора Александра Полищука). Совершенствовался в Венском университете музыки и исполнительского искусства у профессора Марка Стрингера и Европейской музыкальной академии в Теплице у Иоганнеса Шлефли, а также на мастер-классах Михаила Юровского, Юрия Симонова, Дэниела Хардинга и Риккардо Капассо.
Мастерство музыканта было признано на международных дирижерских конкурсах: имени Витольда Лютославского в Белостоке (Польша, I премия и Специальный приз оркестра), имени Димитриса Митропулоса в Афинах (Специальный приз оркестра), в Крайове (Румыния, I премия), имени Артуро Тосканини в Парме (Италия, Гран-при и Приз Джузеппе Синополи)
В настоящее время Эйюб Кулиев – художественный руководитель и главный дирижер Азербайджанского государственного академического театра оперы и балета. Сотрудничает с Международным филармоническим оркестром Куньмина (Китай), Мариинским театром, Татарским академическим государственным театром оперы и балета имени Мусы Джалиля, Большим театром Беларуси, Словацким камерным оркестром имени Богдана Вархала.
Дирижировал Академическим симфоническим оркестром Московской филармонии, Российским национальным оркестром, Санкт-Петербургским государственными академическим симфоническим оркестром, Азербайджанским государственным симфоническим оркестром имени Узеира Гаджибейли, симфоническими оркестрами Государственной академической филармонии Астаны и Киргизской национальной филармонии, Симфоническим оркестром Артуро Тосканини, Оркестром Ламурё, Венским камерным оркестром, Афинским государственным оркестром, Загребским и Словацким филармоническими оркестрами, Венгерским национальным филармоническим и Литовским национальным симфоническим оркестрами, Президентским симфоническим оркестром (Турция), Симфоническим оркестром Сычуани (Китай) и др.
На сезон 2022/23 запланирован дебют дирижера в Латвийской национальной опере и запись диска с оркестром Sinfonia Varsovia.
Заслуженный артист Азербайджана (2017), удостоен Золотого креста Венгерского ордена Заслуг (2020) и других наград.
