Георгий Екимов родился в семье оперного певца, солиста театра имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко Леонида Екимова. Проходил военную службу как солист ансамбля Ракетных войск стратегического назначения. Окончил Академическое музыкальное училище при Московской консерватории (класс Алексея Мочалова) и Российскую академию музыки имени Гнесиных (класс доцента Леонида Бомштейна). Участвовал в мастер-классах Евгения Нестеренко, Владимира Чернова, Рамона де Андреаса, Эндрю Лоуренс-Кинга, Анны Скибински и Ричарда Барретта.
В 2015–2016 годах завоевал Гран-при московского конкурса «Соловьиная роща» (в 2017 году был приглашен в жюри этого конкурса), I премию Московского международного фестиваля славянской музыки и III премию Международного конкурса оперных певцов в Праге (Vissi D'Arte).
С 2017 года – солист театра «Геликон-опера». Исполнял партии в операх «Трубадур», «Бал-маскарад» и «Травиата» Верди, «Служанка-госпожа» Перголези, «Волшебная флейта» Моцарта, «Севильский цирюльник» Россини, «Борис Годунов» Мусоргского, «Пиковая дама», «Иоланта» и «Мазепа» Чайковского, «Садко» Римского-Корсакова, «Соловей» Стравинского, «Повесть о настоящем человеке» Прокофьева, «Царица» Тухманова и «Чаадский» Маноцкова.
Участвовал в проектах «Европейские дни оперы» (МАМТ имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко) и III Международного конкурса молодых оперных режиссеров «Нано-опера» («Геликон-опера»).
В 2019 году выступил в роли Базилио («Севильский цирюльник» Россини) во Дворце искусств Королевы Софии в Валенсии (Испания). На сцене венского Театра ан дер Вин спел партии Бертрана и Орлика в концертных версиях опер «Иоланта» и «Мазепа» Чайковского. Выступал с концертами в Монреале и Валенсии. Сотрудничал с Национальным академическим оркестром народных инструментов России имени Н. П. Осипова и Академическим оркестром русских народных инструментов имени Н. Н. Некрасова.
