Илмар Лапиньш родился в 1944 году в Риге. Обучался в Средней специальной музыкальной школе имени Эмилса Дарзиньша (класс альта). Окончил Ленинградскую государственную консерваторию имени Н. А. Римского-Корсакова по специальности «альт» (1967, класс профессора Алексея Людевига) и «оперно-симфоническое дирижирование» (1970, класс профессора Ильи Мусина), затем аспирантуру Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского (класс профессора Бориса Хайкина).
Дирижерскую карьеру начинал в Ярославской филармонии (ассистент главного дирижера симфонического оркестра). Был главным дирижером Татарского академического государственного театра оперы и балета имени Мусы Джалиля (1975–1978), дирижером Национального театра Белграда (1978–1979), стажером, а затем дирижером Государственного академического Большого театра СССР (1979–1983). Возглавлял Башкирский государственный театр оперы и балета, оркестры Томской и Свердловской филармоний.
В 1990-е годы работал в симфонических оркестрах филармоний и радиокомитетов Загреба, Белграда, Нови-Сада, Дубровника, Мостара. Был советником по вопросам Боснии и Герцеговины Министерства культуры Австрии, художественным руководителем и главным дирижером Венского камерного оркестра, дирижером Венской камерной оперы, приглашенным дирижером Филармонического театра в Вероне, дирижером Национального театра оперы и балета Македонии в Скопье, Клайпедского государственного музыкального театра. Сотрудничал с оркестрами Берлина, Вероны, Пармы, Харбина, Минска, Риги, Еревана, Воронежа и др.
В 2009–2025 гг. – художественный руководитель и главный дирижер Губернаторского симфонического оркестра Иркутской областной филармонии, с которым ранее в течение многих лет сотрудничал в качестве приглашенного дирижера. Оркестр под управлением Лапиньша гастролировал по России, неоднократно выступал в Вене (Золотой зал Музикферайна, 2018–2020), Белграде, Нови-Саде, Юрмале, Улан-Баторе, Пекине, Харбине.
Сотрудничал с известными солистами, в числе которых Дмитрий Башкиров, Лев Власенко, Владимир Крайнев, Алексей Скавронский, Александр Слободяник, Борис Гутников, Андрей Корсаков, Филипп Хиршхорн, Марина Яшвили, Ваграм Сараджян, Людмила Нам, Зураб Соткилава, Артур Эйзен, Филипп Антремон, Евгений Могилевский, Александр Брусиловский, Татьяна Гринденко, Валерий Климов, Гидон Кремер, Виктор Пикайзен, Дора Шварцберг, Юрий Башмет, Владимир Тонха, Александр Князев, Владимир Атлантов, Тамара Синявская и другие.
Илмар Лапиньш всегда уделял значительное внимание произведениям современных композиторов. Иркутский оркестр под его руководством стал постоянным участником фестиваля современной музыки «Московская осень», в рамках которого представил мировые премьеры сочинений Михаила Броннера, Юрия Воронцова, Павла Зингера, Антона Ровнера, Игоря Рехина, Кирилла Уманского, Дарьи Славниковой; впервые исполнил Первую симфонию Свиридова (в Иркутске, Москве, Санкт-Петербурге, Екатеринбурге, Линце), «Садовую симфонию», Концерт для скрипки и виолончели с оркестром и произведения для домры с оркестром Александра Чайковского, «Музыку Ликии» Рыбникова.
По инициативе Илмара Лапиньша в Иркутске неоднократно проходили концертные исполнения опер с участием солистов музыкальных театров России, Италии, Австрии, Сербии, Беларуси, Латвии.
Дирижер удостоен почетного звания «Заслуженный деятель искусств РСФСР» (1983), медали «Дружба» Монгольской Народной Республики (1987), премии имени Великого князя Сергея Александровича в номинации «Патриотическое воспитание молодого поколения» (2021) и других наград.
