Родился в 1984 году в Удмуртской Республике. В 2002 году поступил в Ижевское музыкальное училище по классу академического вокала. Закончив два курса училища, в 2004 году поступил в РАТИ (ГИТИС) на факультет музыкального театра в класс Г. П. Ансимова (класс вокала Ю. С. Удалова). Закончил Академию в 2009 году.
С октября 2009 года по июль 2011 года — артист Молодежной оперной программы Большого театра России. На сцене театра дебютировал в партии Шонара («Богема» Пуччини) под управлением Антонелло Аллеманди. В январе 2011 года исполнил
партию Данкайра в «Кармен» Бизе на сцене Большого театра под управлением французского дирижера Эммануэля Жоэль-Орнака. В феврале 2011 году певец принял участие в концерте Российского национального оркестра под управлением Михаила Плетнева, исполнив соло в «Немецком реквиеме» Брамса; в апреле 2011 года – сольную партию в Stabat Mater Гайдна с оркестром Musica Viva под управлением Александра Рудина. В апреле 2011 года стажировался в Молодежной программе в Вашингтонской национальной опере. В мае 2011 года Константин стал лауреатом V премии и Приза муниципалитета Брюсселя на Международном конкурсе королевы Елизаветы в Брюсселе и принял участие в концертах лауреатов в различных городах Бельгии. В июле 2011 года певец стал лауреатом II премии Международного конкурса вокалистов Operalia, прошедшего в Москве по инициативе Пласидо Доминго.
В сезоне 2011/12 Константин Шушаков дебютировал в Большом театре в партиях Папагено («Волшебная флейта» Моцарта, дирижер Кристофер Мулдс), Щелкалова («Борис Годунов» Мусоргского, дирижер Василий Синайский) и Панталона («Любовь к трем апельсинам» Прокофьева, дирижер Алан Бурибаев). В мае 2012 года впервые исполнил в Большом театре партию Елецкого в спектакле «Пиковая дама» Чайковского под управлением Василия Синайского. С сентября 2012 года – солист Большого театра России; в числе партий, исполненных им на сцене театра также – Марулло («Риголетто» Верди), Моралес («Кармен» Бизе), Гульельмо («Так поступают все» Моцарта), Роберт («Иоланта» Чайковского); певец также принял участие в постановке оперы «Дитя и волшебство» Равеля, концертных исполнениях опер «Мария Стюарт» и «Анна Болейн» Доницетти в Концертном зале им. П. И. Чайковского (дирижер Джулиан Рейнольдс). В мае 2013 года дебютировал в партии Онегина («Евгений Онегин» Чайковского) на сцене оперного театра в Мариборе (Словения) под руководством Бенджамина Пьоннье; летом того же года принял участие в летней Академии молодых певцов на фестивале в Экс-ан-Провансе (Франция). Летом 2014 года дебютировал на сцене миланского театра La Scala в опере Моцарта «Так поступают все». В сезоне 2014/15 дебютировал в партии Графа в новой постановке оперы «Свадьба Фигаро» Моцарта (режиссер Евгений Писарев, дирижер Уильям Лэйси), а также в партии Онегина на сцене оперного театра Сан-Паулу (Бразилия). Участвовал в спектаклях и концертах Пермского театра оперы и балета (Марсель в «Богеме» Пуччини, Граф в «Свадьбе Фигаро» Моцарта) под управлением Теодора Курентзиса. В планах певца – участие в постановке оперы «Золотой петушок» Римского-Корсакова в Королевском театре La Monnaie, дебют в партии Форда («Фальстаф» Верди) на сцене Женевской оперы.
